문제
해답
L 목표 달성
E 목표 달성
풀이
L 목표 풀이
1. 직선AB에 대한 수직이등분선을 긋는다. - 직선AB위에 점E가 생겼다.
2. 직선CD에 대한 수직이등분선을 긋는다. - 직선CD위에 점F가 생겼다.
3. 선분EF를 긋는다.
E 목표 해설
1. 직선AD를 긋는다.
2. 직선BC를 긋는다. - 직선AD와 BC의 교점E가 생겼다.
3. 직선AC를 긋는다.
4. 직선BD를 긋는다. - 직선AC와 BD의 교점F가 생겼다.
5. 직선EF를 긋는다.
해설
# L목표는 증명이 필요 없으므로 생략.
# 하지만 E목표는 증명이 어렵다. 일단 자료만 첨부 : 사다리꼴의 성질
참고자료
# 사다리꼴의 성질
1. 빗변을 기준으로 이웃한 두 각은 서로 보각관계이다. 즉, 두 각의 합이 180도.
2. 사다리꼴의 넓이는 S=a+b2h
3. 두 대각선은 서로를 각각 윗변과 밑변의 비로 나눈다.
4. 두 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형 중 빗변을 포함한 두 삼각형은 넓이가 같다.
5. 밑변과 윗변의 중점과 두 대각선의 교점은 공선점이다.
# 사다리꼴의 성질 증명
1. 엇각을 이용하자.
2. 사다리꼴을 뒤집어서 이어 붙이면 평행사변형이 된다. 그 평행사변형의 넓이는 (a+b)h이고, 사다리꼴의 넓이는 그 평행사변형의 넓이의 절반이므로 S=a+b2h
3. 선분AD ∥ 선분BC이므로, ∠CAD=∠ACB,∠BDA=∠DBC (엇각). 그러므로, 두 닮은 삼각형의 길이의 비는 선분AD : 선분 BC 이다. 따라서 두 대각선은 서로를 각각 윗변과 밑변의 비로 나눈다.
4. 선분AD = a,선분BC = b라 하자. 3번 성질에 의해 적당한 실수 p,q에 대해 선분AP = ap,선분CP = bp, 선분DP = aq, 선분BP = bq가 성립한다.
또한 ∠APB=∠CPD (맞꼭지각)이다. 이 각의 크기를 θ라 하자. 그럼 △APB의 넓이는 12×ap×bq×sinθ. 따라서 △CPD의 넓이는 12×aq×bp×sinθ. 따라서 △APB의 넓이와 △CPD의 넓이는 같다.
5. 윗변과 밑변의 중점을 각각 M,N이라 하자. 그럼 3번 성질을 이용해 △APM ∼△CPN(SAS 닮음)임을 보일 수 있다. 따라서 ∠APM = ∠CPN.
마찬가지로 3번 성질을 이용해 △DPM ∼△BPN(SAS 닮음)임을 보일 수 있다. 따라서 ∠DPM = ∠BPN. 한편, 두 대각선에 대해 맞꼭지각이 성립하므로, ∠DPC = ∠APB.
따라서 ∠MPC = ∠NPA. 대각선 AC와 직선MN에 대해 두 맞꼭지각이 성립하므로 세 점 M,P,N은 공선점이다.
이미지를 이용한 설명은 나중에 시간 나고 내가 이해가 되면 하는 걸로 ...