1) 거듭제곱과 거듭제곱근
1. 거듭제곱
① 어떤 실수 a를 n번 곱한 것.
② \(a^n\)을 a의 n제곱이라고 읽는다.
③ 모든 n에 대한 \(a^n\)의 꼴을 a의 거듭제곱이라고 한다.
④ \(a^n\)에서 a를 밑, n을 지수라 한다.
| "어떤 수를 그 수로 여러번 곱하기."가 거듭 제곱이다. 예를 들어 \(2^5\) = 2*2*2*2*2 로 2를 5번 곱한 것을 의미하고, 값인 36은 \(2^5\)의 값이 된다. \(2^n\) 에서 n이 작으면 모를까 n이 큰 수이면 2*2*...*2 의 형태로 쓰기에는 너무 길어지니 줄인 것이다. |
2. 거듭제곱근
① a가 실수일 때, n제곱하여 a가 되는 수.
② \(x^n=a\)일 때, x를 a의 n제곱근이라고 한다.
③ 모든 n에 대한 \(x^n=a\) 꼴의 x를 a의 거듭제곱근이라고 한다.
④ \(\sqrt[n]{a}\)을 n제곱근 a라 읽고, \(\sqrt[n]{}\)를 n제곱근호라고 한다.
| 거듭제곱근은 거듭제곱의 반대이다. 거듭제곱 \(2^5\) 는 그 값이 몇인지 모르는 경우이지만, \(2^5=X\) (X가 모르는 값) 거듭제곱근 \(\sqrt[5]{32}\)는 몇을 5번 곱해야지 32가 나오는지를 모르는 경우이다. \(X^5=32\) (X가 모르는 값) |
⑤ \(x^n=a\)의 근은 복소수 범위에서는 n개 존재한다.
| 거듭제곱근 \(\sqrt[5]{32}\) 즉, \(X^5=32\) 에서 X값은 복소수 범위의 허수근까지 포함하면 5개라는 뜻이다. 쉽게 알 수 있는 실수 2를 제외하고도 허수근이 4개 더 있다. 실제로 그 값을 계산할 수 있는지 없는지는 별개로 치더라도 말이다. |
⑥ 하지만 실수인 x만 생각하면 n이 짝수일 때는
1) \(a > 0 \)이면 실근은 2개( \(\sqrt{a} \), \(-\sqrt{a}\) )
2) \(a = 0 \)이면 실근은 1개 ('0')
3) \(a < 0 \)이면 실근은 존재하지 않는다.
4) n이 홀수일 때, 실근은 1개( \(\sqrt{a} \) ) 존재한다.
| 거듭제곱근의 실수인 값의 갯수는 \(X^A=B\)형태에 대해서 함수 \(y = X^A\)와 \(y=B\)의 접선의 갯수와 같다. |
| 짝수 | 홀수 |
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아래의 법칙들은 기본 연산으로 사용하므로 적당히 외우는 것이 좋음.
3. 지수법칙 (1)
(조건: a,b가 실수이고, m,n이 양의 정수)
① \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
② \((a^m)^n = a^{mn}\)
③ \((ab)^n = a^nb^n\)
④ \((a/b)^n = a^n/b^n (b \neq 0)\)
⑤ \( a^m \div a^n = a^m/a^n = a^{m-n}\,(m>n), 1\,(m=n), 1/a^{n-m}\,(m < n) \)
4. 거듭제곱근의 성질 (조건 : a>0, b>0이고 m,n,p가 양의 정수)
① \( (\sqrt[n]{a})^n = a \)
② \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \)
③ \( \sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a/b} \)
④ \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
⑤ \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} \)
5. 지수의 확장(지수가 정수,유리수,실수인 경우) (조건 : \( a,b \neq 0 \)이고 m,n이 실수)
① \( a^0 = 1\) , ② \( a^{-n} = 1/a^n \)
③ \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
④ \( (a^m)^n = a^{mn} \)
⑤ \( (ab)^n = a^nb^n \)
⑥ \( a^m \div a^n = a^{m-n} \)
⑦ \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)
⑦ \( a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \)
모든 수의 0승은 1이다.
음수 지수는 나누기로 표현 가능.
분수 지수는 제곱근으로 표현 가능
밑이 같은 지수의 곱은 지수끼리 더하기
밑이 같은 지수의 나눗셈은 지수끼리 빼기