수학Ⅰ. 거듭제곱과 거듭제곱근

 

1) 거듭제곱과 거듭제곱근

 

1. 거듭제곱

  ① 어떤 실수 a를 n번 곱한 것.

  ② $a^n$을 a의 n제곱이라고 읽는다.

  ③ 모든 n에 대한 $a^n$의 꼴을 a의 거듭제곱이라고 한다.

  ④ $a^n$에서 a를 밑, n을 지수라 한다.

 

"어떤 수를 그 수로 여러번 곱하기."가 거듭 제곱이다.  예를 들어 $2^5$ = 2*2*2*2*2 로 2를 5번 곱한 것을 의미하고, 값인 36은 $2^5$의 값이 된다. $2^n$ 에서 n이 작으면 모를까 n이 큰 수이면 2*2*...*2 의 형태로 쓰기에는 너무 길어지니 줄인 것이다.

 

2. 거듭제곱근

  ① a가 실수일 때, n제곱하여 a가 되는 수.

  ② $x^n=a$일 때, x를 a의 n제곱근이라고 한다.

  ③ 모든 n에 대한 $x^n=a$ 꼴의 x를 a의 거듭제곱근이라고 한다.

  ④ $\sqrt[n]{a}$을 n제곱근 a라 읽고, $\sqrt[n]{}$를 n제곱근호라고 한다.

 

거듭제곱근은 거듭제곱의 반대이다. 거듭제곱 $2^5$ 는 그 값이 몇인지 모르는 경우이지만, $2^5=X$ (X가 모르는 값) 거듭제곱근 $\sqrt[5]{32}$는 몇을 5번 곱해야지 32가 나오는지를 모르는 경우이다. $X^5=32$ (X가 모르는 값)

 

  ⑤ $x^n=a$의 근은 복소수 범위에서는 n개 존재한다.

 

거듭제곱근 $\sqrt[5]{32}$ 즉, $X^5=32$ 에서 X값은 복소수 범위의 허수근까지 포함하면 5개라는 뜻이다. 쉽게 알 수 있는 실수 2를 제외하고도 허수근이 4개 더 있다. 실제로 그 값을 계산할 수 있는지 없는지는 별개로 치더라도 말이다.

 

  ⑥ 하지만 실수인 x만 생각하면 n이 짝수일 때는

      1) $a>0$이면 실근은 2개( $\sqrt{a}$, $-\sqrt{a}$ )

      2) $a=0$이면 실근은 1개 ('0')

      3) $a<0$이면 실근은 존재하지 않는다.

      4) n이 홀수일 때, 실근은 1개( $\sqrt{a}$ ) 존재한다.

 

거듭제곱근의 실수인 값의 갯수는 $X^A=B$형태에 대해서 함수 $y=X^A$와 $y=B$의 접선의 갯수와 같다.

 

짝수	홀수

 

아래의 법칙들은 기본 연산으로 사용하므로 적당히 외우는 것이 좋음.

 

3. 지수법칙 (1)

(조건: a,b가 실수이고, m,n이 양의 정수)

  ① $a^m\times a^n=a^{m+n}$ 

  ② $(a^m{)}^n=a^{mn}$               

  ③ $(ab{)}^n=a^n{b}^n$

  ④ $(a/b{)}^n=a^n/b^n(b\ne 0)$

  ⑤ $a^m÷a^n=a^m/a^n=a^{m-n}(m>n),1(m=n),1/a^{n-m}(m<n)$

 

4. 거듭제곱근의 성질  (조건 : a>0, b>0이고 m,n,p가 양의 정수)

  ① $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$

  ② $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

  ③ $\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a/b}$

  ④ $(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

  ⑤ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$

 

5. 지수의 확장(지수가 정수,유리수,실수인 경우)  (조건 :  $a,b\ne 0$이고 m,n이 실수)

  ① $a^0=1$ , ② $a^{-n}=1/a^n$

  ③ $a^m\times a^n=a^{m+n}$

  ④ $(a^m{)}^n=a^{mn}$

  ⑤ $(ab{)}^n=a^n{b}^n$

  ⑥ $a^m÷a^n=a^{m-n}$

  ⑦ $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$

  ⑦ $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

 

모든 수의 0승은 1이다.

음수 지수는 나누기로 표현 가능.

분수 지수는 제곱근으로 표현 가능

밑이 같은 지수의 곱은 지수끼리 더하기

밑이 같은 지수의 나눗셈은 지수끼리 빼기