0. 직관적 집합론과 공리적 집합론
# 기본적으로 고교과정에서 배우는 집합개념은 직관적 집합론으로 집합을 직관적으로 받아들인다.
# 공리적 집합론은 집합을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 학문으로 수학과 학부 또는 대학원 과정에서 배우게 된다.
# 집합을 수학적으로 엄밀하게 정의하는 이유는 집합을 그저 '어떠한 조건을 만족하는 것들의 모임'으로 정의하면 러셀의 역설 등에 의해 수학구조가 붕괴되기 때문이다.
# 그래서 러셀의 역설 이후 현대 수학의 기초는 공리적 집합론을 기반으로 형성되었다. 현대수학에서 표준적으로 사용하는 공리계는 ZFC공리계이다.
# 그러므로 고교 수학에서는 집합을 직관적으로 받아들이긴 하지만 정확하게 공부하기 위해서는 엄밀한 집합 개념이 필요하다.
1. 기본.
# 집합의 정의 : 어떠한 조건을 만족하는지 분명히 알 수 있는 것들의 모임.
# 원소 : 집합에 포함되는 각각의 대상.
# 원소나열법 : 집합의 모든 원소를 { } 안에 나열하여 표시하는 방법. ex) {1,2,3,4,5}
# 조건제시법 : 집합의 조건으로 집합을 표시하는 방법. ex) {x| x는 0<x<6인 정수}
# 벤다이어그램 : 집합을 이미지로 나타내는 표현법.
# 유한 집합 : 집합내의 원소의 갯수가 유한한 집합.
# 무한 집합 : 집햅내의 원소의 갯수가 무한한 집합.
# 공집합 : 원소의 갯수가 0인 집합. 유한집합으로 분류한다. 공집합은 ∅으로 표시하는데 Φ와 비슷하게 생겨서 그냥 Φ로 쓰기도 한다.
# 전체집합 : 집합의 원소가 될 수 있는 모든 원소들의 집합.
# 원소 a가 집합 A의 원소이면 a∈A로 표시한다.
2. 집합의 포함 관계
# 부분집합 : A집합의 모든 원소가 B집합의 원소이면 A집합은 B집합의 부분 집합이라 하고, A⊂B로 표시한다.
# 진부분집합 : A가 B의 부분집합이면서 A≠B일때 A는 B의 진부분집합이라고 한다.
# ∅⊂A, A⊂A
# A⊂B이고 B⊂A이면 A=B
# A⊂B이고 B⊂C이면 A⊂C
3. 집합의 연산
# 합집합 : A∪B = {x|x∈A 또는 x∈B}
# 교집합 : A∩B = {x|x∈A 그리고 x∈B}
# 여집합 : Ac={x|x∈U이고 x∉A} (단, U는 전체집합)
# 차집합 : A-B = {x|x∈A이고 x∉B}
# 서로소 : A∩B = ∅ 일 때, 집합A와 집합B의 관계를 서로소라고 한다.
4. 집합의 연산법칙
# 교환법칙 : A∪B = B∪A, A∩B = B∩A
# 결합법칙 : (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)
# 분배법칙 : A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
# 드모르간의 법칙 : (A∪B)c = Ac∩Bc, (A∩B)c = Ac∪Bc
# Uc = ∅, ∅c = U, (Ac)c = A
# A∪Ac = U, A∩Ac = ∅
# A-B = A∩Bc = A-(A∩B) = (A∪B)-B
# A∩(A∪B) = A, A∪(A∩B) = A
# A∪B = B ⇔ A⊂B, A∩B = B ⇔ B⊂A
# A⊂B ⇔ Ac⊂Bc, A⊂B ⇔ A-B = ∅
5. 유한집합의 원소의 개수
(n(A)는 집합A의 원소의 개수)
# n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B), n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B)
# n(Ac) = n(U) - n(A)
# n(A-B) = n(A) - n(A∩B) = n(A∪B) - n(B)
//+α
6. ZFC 공리계
# 공리계 중 하나. 20세기 초에 나온 러셀의 역설은 수학계가 그 당시 집합을 완전성의 상징처럼 여겼던 전의 기조에서 벗어나서, 새롭게 집합을 규정해야 할 필요를 느끼게 만들었다. 이러한 배경 속에서 탄생한 것이 체르멜로(Zermelo) 공리계이다. 후에 프렝켈(Fraenkel)이 정칙성 공리와 치환 공리꼴을 추가한 것이 ZF 공리계이고, 이에 선택공리(Axiom of Choice)를 추가한 것이 ZFC 공리계이다.
# 자세한 내용은 따로 포스트를 해야할 정도이니 생략. (사실 잘 모른다.)
# 외연 공리(Axiom of Extensionality) : 두 집합에 대하여 한 집합의 원소가 다른 집합의 원소가 되고, 그 역도 성립할 때, 두 집합을 같다고 정의한다.
# 존재 공리(Axiom of Existence) 또는 공집합 공리(Axiom of Empty set) : 공집합이 존재한다.
# 분류 공리꼴(Axiom schema of Specification 또는 Axiom schema of Seperation) : 임의의 집합에 대해, 그 집합에 포함되며 특정 성질을 만족하는 원소들의 집합이 존재한다.
# 짝 공리(Axiom of Pairing) : 임의의 두 집합에 대해, 그 두 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
# 합집합 공리(Axiom of Union) : 임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들의 원소들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
# 멱집합 공리(Axiom of Power set) : 임의의 집합에 대해, 그 집합의 부분집합들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.
# 무한 공리(Axiom of Infinity) : S(x)를 x∪{x}라 정의하면, 공집합을 원소로 가지고, x를 원소로 가진다면 S(x)도 항상 원소로 가지는 집합I가 존재한다.
# 기초 공리(Axiom of Foundation) 또는 정칙성 공리(Axiom of Regularity) : 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 가진다.
# 치환 공리꼴(Axiom schema of Replacement) : 임의의 x에 대해, 관계 P(x,y)를 만족시키는 y가 유일하게 존재하면, 임의의 집합에 대해, 그 집합의 P(x,y)에 의한 상을 포함하는 집합이 존재한다.
# 선택 공리(Axiom of Choice) : 공집합을 포함하지 않는 임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.
