0. 명제의 정의
# 명제는 기본적으로 "누구에게나 동일한 진리치를 갖는 문장"이라고 정의할 수 있다.
# 하지만 명제를 더 엄밀하게 정의하고 논의할 필요가 있는 분야에서 엄밀하게 정의하는 것과 간단하게 정의하는 것은 조금 다르다.
# 고교수학에서는 명제를 "가치판단이 개입될 수 없는, 누구나 참인지 거짓인지 일치된 판단을 할 수 있는 문장"이라고 간단하게 소개한다.
# 하지만 위의 정의는 대표적으로 아래와 같은 문제를 갖는다.
1) 수학적 혹은 논리적으로 같은 의미를 갖어도 언어가 다르면 다른 문장이 되므로 명제를 문장이라고 하기에는 문제가 있다.
2) 직관적으로는 명제지만 인류가 아직 참인지 거짓인지 알 수 없는 문장이 있고, 그런 문장에 대해서는 '일치된 판단'이 불가능하다.
3) 직관적으로 명제이면서 일치된 판단이 존재하지만 그 일치된 판단이 참임과 동시에 거짓인 문장도 있다.
# 언어철학에서 "x는 명제다"의 필요조건으로 꼽히는 대표적인 조건은 다음과 같다.
1) "x는 어떤 문장의 의미다." : 즉 어떤 언어의 문장의 의미가 될 수 없는 것은 명제가 아니다.
2) "x는 진리치를 갖는다." : 예를들어 진리치가 참과 거짓으로만 나눠지는 이가논리에서 x는 참이거나 거짓이라는 진리치를 가져야 한다.
3) "x는 명제태도의 대상이다." : 's는 p라고 믿는다.', 's는 p를 바란다'와 같은 문장에서 p가 가리키는 것이 명제이다.
# 어쩄든 명제란 직관적으로 '모든 사람이 동일한 답을 할 수 있는 문장'이라고 정의할 수 있다.
# 이에 대한 논쟁은 명제에 대한 정의를 더 '엄밀하게'하기 위한 노력이다.
1. 명제와 조건
# 명제 : 참, 거짓을 명확히 판별 할 수 있는 식이나 문장.
# 조건 : 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 결정되는 식이나 문장.
# 두 조건 p,q에 대해서 'p이면 q이다'의 꼴로 나타낼 수 있는 명제를 간단히 p→q로 나타내고, p를 가정 q를 결론이라 한다.
# 명제 p→q에 대하여 p를 만족하는 집합을 P, q를 만족하는 집합을 Q라 하면
1) p→q가 참이면 P⊂Q이다. 2) P⊂Q이면 p→q는 참이다.
# p→q가 참이면 p⇒q로 나타낸다.
2. 부정, 역, 이, 대우
# 명제 또는 조건 p에 대하여 'p가 아니다'를 명제 또는 조건의 부정이라 하고 기호로 ~p로 나타낸다.
# p를 만족하는 집합이 P이면 ~p를 만족하는 집합은 Pc이다.
# p의 부정의 부정은 p이다. ~(~p) = p
# 명제 p→q에서 가정과 결론의 순서를 바꾼 명제 q→p를 p→q의 '역(逆, converse)'이라 한다.
# 명제 p→q에서 가정과 결론을 부정한 명제 ~p→~q를 p→q의 '이(裏, inverse) '라고 한다.
# 명제 p→q에 역과 이를 모두 취한 명제 ~q→~p를 p→q의 '대우(對偶, contraposition)'라고 한다.
# p→q가 참이면 그 대우인 ~q→~p도 항상 참이다.
3. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
# 필요조건(Necessary Condition) : p⇒q 일 때 q는 p이기 위한 필요조건이라 한다.
# 충분조건(Sufficient Condition) : p⇒q 일 때 p는 q이기 위한 충분조건이라 한다.
# 필요충분조건(Necessary and Sufficient Condition) : p⇔q일 때 p는 q이기 위한 필요충분조건이고, q는 p이기 위한 필요충분조건이라 한다.