행렬의 기본
# 행렬 : 상수나 변수를 직사각형 꼴로 배열한 것.
# 성분 : 행렬을 이루는 각각의 상수나 변수.
# 행 : 성분의 가로 배열, # 열 : 성분의 세로 배열
# m*n행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬
# n차 정사각행렬 혹은 n차 정방행렬 : 행과 열이 n개로 서로 같은 행렬.
# (i,j)성분 혹은 aij : 행렬의 i행, j열 성분을 (i,j)성분이라 하고 대체로 A행렬이면 성분을 aij로 표현한다.
# 행렬 A를 간단히 A = (aij)로 나타내기도 한다.
# 행렬의 행과 열 갯수가 서로 같고, 같은 위치의 성분이 모두 같으면 서로 같은 행렬이라 한다.
# 행벡터 : 행이 한개뿐인 벡터, # 열벡터 : 열이 한개뿐인 벡터
행렬의 연산 (1) : 실수배와 덧셈
(앞으로 이 블로그에서는 행렬A를 줄여서 [A]로 표시한다.)
# 행렬의 실수배 : 실수n과 행렬A의 곱은 n을 행렬의 모든 원소에 곱하는 것을 의미한다. n*[A] =(n*aij)
# 영행렬 : 행렬의 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고 기호로는 O로 표현한다. (이 블로그에서는 주로 [0]으로 표시할 예정.)
# -[A] : [A]의 모든 원소에 -1을 곱한 행렬을 -[A]로 표시한다.
# 행렬의 실수배의 성질 : [A]와 [B]와 [0]의 형식이 같고, k, l이 임의의 실수일 때
교환법칙 : k*[A] = [A] * k, 결합법칙 : (k*l)*[A] = k*(l*[A]), 분배법칙 : k*([A]+[B]) = k*[A] + k*[B], (k+l)*[A] = k*[A] + l*[A]
1*[A] = [A], -1*[A] = -[A], 0*[A] = [0]
(앞으로 이 블로그에서는 행렬의 형식을 행렬의 행과 열의 갯수를 나타내는 것으로한다.)
# 행렬의 합과 차 : 행렬의 합과 차는 두 행렬의 형식이 서로 같을 때만 계산할 수 있다.
# 행렬의 합 : [A]와 [B]의 형식이 서로 같을 때 [A]와 [B]의 같은 위치의 성분을 서로 더한 행렬을 [A] + [B]라 한다.
[A] + [B] = (aij) + (bij) = (aij + bij) = ((a+b)ij)
# 행렬의 합의 성질 : [A]와 [B]의 형식이 같을 때
교환법칙 : [A] + [B] = [B] + [A], 결합법칙 : ([A] + [B]) + [C] = [A] + ([B] + [C]), 항등원 : [A] + [0] = [A], 역원 : [A] + -[A] = [0]
행렬의 연산 (2) : 행렬의 곱셈
# [A] * [B]는 [A]의 열 갯수와 [B]의 행 갯수가 서로 같을 때만 정의된다.
# [A] * [B]는 [A]의 i행 성분과 [B]의 j열 성분을 차례로 곱해서 더한 값을 (i,j)성분으로 하는 행렬이다.
# 행렬의 곱셈의 성질 : [A],[B],[C]가 정방행렬일 때
교환법칙 성립 안함 : [A]*[B] ≠ [B]*[A],
결합법칙 : ([A]*[B])*[C] = [A]*([B]*[C]),
분배법칙 성립 : [A]*([B] + [C]) = [A]*[B] + [A]*[C], ([A] + [B])*[C] = [A]*[C] + [B]*[C]
(k*[A])*[B] = [A]*(k*[B]) = k*([A]*[B])
# 행렬의 거듭제곱 : [A]*[A] = [A]2 , [A]2*[A] = [A]3 , ... , [A]n-1*[A] = [A]n, [A]m*[A]n = [A]m+n
# 거듭제곱에 대해서는 [A]*[A]2 = [A]2*[A] = [A]3, [A]n-1*[A] = [A]*[A]n-1 = [A]n 이 성립한다.
# 행렬의 곱셈 시 주의!해야할 것. (실수의 연산과 다른 점)
1) 교환법칙이 성립하지 않으므로
([A]*[B])2 = [A]*[B]*[A]*[B] ≠ [A]*[B]*[B]*[A]
([A]±[B])2 = [A]2 ± [A]*[B] ± [B]*[A] ± [B]2 (복부호동순)
([A]+[B])*([A]-[B]) = [A]2 - [A]*[B] + [B]*[A] ± [B]2
2) [A] = [0] or [B] = [0]이면 [A]*[B] = [0]이지만 [A]*[B] = [0] 이어도 [A] = [0] or [B] = [0] 은 아닐 수 있다.
([A] ≠ [0], [B] ≠ [0]이어도 [A]*[B] = [0]가 있다.)
3) [A] = [C]이면 [A] ≠ [0]이어도 [A]*[B] = [A]*[C]이지만 [A] ≠ [0]이고 [A]*[B] = [A]*[C]이어도 [A] = [C]는 아닐 수 있다.
([A] ≠ [C]여도 [A]*[B] = [A]*[C]인 경우가 있다.)