4. 복소수

1. 허수단위와 복소수의 뜻
  # 허수단위 : 제곱해서 -1이 되는 수를 문자 i 로 나타내어 i² = -1이라 정하고 i 를 허수 단위라 한다.
  # 복소수 : a, b가 실수일 때 a+b*i 꼴의 수를 복소수라 하고 이 때, a를 실수 부분, b를 허수 부분이라 한다. 

  

2. 복소수가 서로 같을 조건

  # a,b,c,d가 서로 실수일 때,   a+b*i = c+d*i ⇔ a = c, b = d //   a+b*i = 0 ⇔ a = 0, b = 0
  # 허수 부가 있는 복소수끼리는 대소 비교를 할 수 없다. 

2-1. 무리수가 서로 같을 조건
  # a,b,c,d가 서로 실수일 때,   a+b√x = c+d√x ⇔ a = c, b = d //   a+b√x = 0 ⇔ a = 0, b = 0

3. 복소수의 덧셈과 뺄셈
  # 두 복소수 a+b*i, c+d*i의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 정의한다.
  # 덧셈 : (a+b*i) + (c+d*i) = (a+c) + (b+d) * i
  # 뺄셈 : (a+b*i) - (c+d*i) = (a-c) + (b-d) * i

4. 복소수의 곱셈과 나눗셈
  # 두 복소수 a+bi, c+di의 곱셈과 나눗셈은 다음과 같이 정의한다.
  # 곱셈 : (a+bi) * (c+di) = (a*c - b*d) + (a*d+b*c)i
  # 나눗셈 : (a+bi) / (c+di) = ｛(a*c+b*d)/(c²+d²)｝+｛(b*c-a*d)/(c²+d²)｝* i (단, c+d*i ≠ 0)

5. 켤레 복소수와 켤레 복소수의 성질
  # 켤레 복소수 : 복소수 z = a+b*i라 할 때, 허수부의 부호를 바꾼 a - b*i를 z의 켤레복소수라 하고 주로 z로 표현한다.
  # 켤레 복소수의 성질 : 두 복소수 a,b와 그 켤레복소수 a, b 라 하면
  ① a±b = a ± b (복부호 동순),   ② a*b = a * b, ③ a/b = a / b (단, b ≠ 0), ④ a = b,b = a, ⑤ a+a, a*a는 항상 실수이다.

6. 복소수 연산의 기본 성질
  # 복소수의 집합은 사칙연산에 대하여 닫혀 있다. (단, 0으로 나누기 제외)
  # 복소수의 연산 법칙 : 복소수 a,b,c에 대하여
   ① 교환 법칙 : a+b = b+a, a*b = b*a
   ② 결합 법칙 : (a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*z = a*(b*c)
   ③ 분배 법칙 : a*(b+c) = a*b + a*c, (a+b)*c = a*c + b*c
   ④ 덧셈에 대한 항등원 : 0 ⇒ a + 0 = 0 + a = a
   ⑤ 곱셈에 대한 항등원 : 1 ⇒ a *1 = 1 * a = a
   ⑥ 덧셈에 대한 역원 : -a ⇒ a + (-a) = (-a) + a = 0
   ⑦ 곱셈에 대한 역원 : 1/a ⇒ a * 1/a = 1/a * a = 1 (단, a≠0)

7. 음수의 제곱근
   ① a > 0 일 때, √-a = √a * i, -a의 제곱근은 ± √a * i
   ② a < 0, b < 0 일 때, √a * √b = - √ab
   ③ a >0, b < 0 일 때, √a / √b = - √a/b

8. 복소평면
  # 좌표 평면의 x축을 실수부에 대응시키고, y축을 허수부에 대응시킨 평면을 복소평면이라고 한다.
  # 이를 이용하여 복소수의 절대값을 구할 수 있다. 복소수 z = a+b*i의 절대값은 √ a²+b²